在数学领域中，阶乘是一个非常基础且重要的概念，广泛应用于组合数学、概率论以及计算机科学等领域。对于一个非负整数 \( n \)，其阶乘通常记作 \( n! \)，定义为从 1 到 \( n \) 的所有正整数的乘积。具体来说，公式可以表示为：

\[

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1

\]

例如，\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)。

然而，在某些特殊情况下，阶乘的概念需要进一步扩展。比如，当 \( n = 0 \) 时，按照惯例，我们规定 \( 0! = 1 \)。这一定义并非随意设定，而是为了保持某些数学公式的连续性和一致性。

此外，在高等数学中，阶乘可以通过伽马函数（Gamma Function）来推广到实数和复数域。伽马函数的定义为：

\[

\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1} e^{-t} \, dt

\]

对于正整数 \( n \)，有 \( \Gamma(n) = (n-1)! \)。因此，通过伽马函数，我们可以将阶乘的概念延展至非整数值。

回到阶乘的基本形式，它还有许多有趣的性质。例如，递推关系式：

\[

n! = n \times (n-1)!

\]

这表明，只要知道某一个特定值的阶乘，就可以通过递推计算其他值的阶乘。

在实际应用中，阶乘的计算可能会遇到大数问题。因此，使用编程语言或工具进行高效计算变得尤为重要。例如，在 Python 中，可以直接利用内置的 `math.factorial` 函数快速求解。

总之，阶乘函数虽然看似简单，但其背后蕴含着丰富的数学思想和广泛的应用场景。无论是初学者还是专业人士，掌握阶乘的基本原理与扩展知识都是不可或缺的一部分。