【齐次线性方程组怎么解】齐次线性方程组是指所有方程的常数项均为0的线性方程组，其一般形式为：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}
$$
这类方程组总是有解的，至少存在零解（即所有变量都为0）。但根据系数矩阵的秩不同，可能还存在非零解。
一、齐次线性方程组的解法步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 写出系数矩阵：将方程组中的系数整理成一个矩阵 $ A $，即 $ A = (a_{ij}) $。 |
| 2 | 计算矩阵的秩：通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，确定矩阵的秩 $ r $。 |
| 3 | 判断解的情况： - 若 $ r = n $，则只有零解； - 若 $ r < n $，则存在无穷多解（包括零解和非零解）。 |
| 4 | 求基础解系：选择自由变量（即非主元对应的变量），令这些变量取任意值，解出其他变量，得到一组线性无关的解向量，称为基础解系。 |
| 5 | 写出通解：用基础解系表示所有解的形式，即通解。 |
二、示例分析
考虑以下齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\
2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 = 0
\end{cases}
$$
步骤如下：
1. 系数矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
2. 对矩阵进行行变换，化为行阶梯形：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$
3. 矩阵的秩为 2，变量个数为 3，因此存在非零解。
4. 自由变量为 $ x_2 $，设 $ x_2 = t $，可得：
- 由第三式 $ -x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 0 $
- 由第一式 $ x_1 + x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = -t $
5. 基础解系为：
$$
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
$$
6. 通解为：
$$
k \cdot \begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}
$$
三、总结
齐次线性方程组的解法可以归纳为以下几个关键点：
- 系数矩阵的秩决定了是否有非零解；
- 当矩阵的秩小于变量个数时，存在无穷多解；
- 通过基础解系可以构造出所有解；
- 解的形式通常包含自由变量，需合理选取并代入求解。
掌握这些方法后，可以系统地解决各种类型的齐次线性方程组问题。
