【加权算术平均数】在统计学中，加权算术平均数是一种根据各个数据出现的频率或重要性赋予不同权重后计算的平均值。与简单算术平均数不同，加权算术平均数能够更准确地反映实际数据分布的情况，尤其适用于不同样本或类别具有不同影响力的情形。
加权算术平均数的基本公式为：
$$
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}
$$
其中，$x_i$ 表示第 $i$ 个数据点，$w_i$ 表示对应的权重，$\bar{x}$ 是加权算术平均数。
加权算术平均数的应用场景
| 应用领域 | 简要说明 |
| 教育评估 | 学生各科成绩按不同学分计算总平均分 |
| 经济分析 | 不同地区GDP按人口权重计算区域平均 |
| 投资组合 | 不同资产收益按投资比例加权计算整体回报 |
| 市场调研 | 不同群体意见按人数比例加权计算总体满意度 |
加权算术平均数的计算步骤
1. 确定数据点和权重：明确每个数据点及其对应的权重。
2. 计算加权总和：将每个数据点乘以其对应的权重，然后求和。
3. 计算权重总和：将所有权重相加。
4. 求出加权平均数：将加权总和除以权重总和。
示例计算
假设某学生在三门课程中的成绩分别为90、85、95，对应学分分别为3、4、3，那么其加权平均分为：
$$
\bar{x} = \frac{90 \times 3 + 85 \times 4 + 95 \times 3}{3 + 4 + 3} = \frac{270 + 340 + 285}{10} = \frac{895}{10} = 89.5
$$
加权算术平均数与简单算术平均数的区别
| 指标 | 简单算术平均数 | 加权算术平均数 |
| 计算方式 | 所有数据相加后除以数量 | 数据乘以权重后求和再除以权重总和 |
| 权重使用 | 无权重，每项权重相同 | 每项数据可赋予不同权重 |
| 适用情况 | 各数据同等重要时 | 数据重要性不同时 |
通过合理设置权重，加权算术平均数能更好地体现数据之间的差异性和重要性，是数据分析中不可或缺的工具之一。在实际应用中，应根据具体情况选择合适的权重分配方式，以确保结果的准确性与合理性。
