【点到直线的距离公式】在解析几何中，点到直线的距离是一个常见的问题，广泛应用于数学、物理和工程等领域。点到直线的距离是指从一个点出发，沿着垂直于该直线的方向到这条直线的最短距离。掌握这一公式的推导与应用，有助于解决实际问题。
一、公式总结
点到直线的距离公式如下：
设点 $ P(x_0, y_0) $，直线的一般式为 $ Ax + By + C = 0 $，则点 $ P $ 到该直线的距离 $ d $ 为：
$$
d = \frac{
$$
二、公式推导简述
1. 向量法：利用点与直线之间的向量关系，通过投影计算距离。
2. 几何法：构造垂线段，利用相似三角形或勾股定理求解。
3. 代数法：通过最小化距离函数，结合微积分方法求极值。
无论采用哪种方法，最终得到的公式都是一致的。
三、常见情况对比（表格）
| 直线形式 | 公式表达式 | 点 $ (x_0, y_0) $ 到直线的距离 | ||
| 一般式：$ Ax + By + C = 0 $ | $ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{\sqrt{A^2 + B^2}} $ | 通用公式 |
| 斜截式：$ y = kx + b $ | 转换为一般式：$ kx - y + b = 0 $ | $ d = \frac{ | kx_0 - y_0 + b | }{\sqrt{k^2 + 1}} $ |
| 点斜式：$ y - y_1 = k(x - x_1) $ | 转换为一般式：$ kx - y + (y_1 - kx_1) = 0 $ | $ d = \frac{ | kx_0 - y_0 + y_1 - kx_1 | }{\sqrt{k^2 + 1}} $ |
四、注意事项
- 公式中的绝对值符号确保了距离为非负数；
- 分母是直线方向向量的模长，保证单位一致性；
- 若直线方程未标准化（如 A、B 不互质），应先进行化简再代入公式。
五、应用举例
例如，点 $ P(2, 3) $ 到直线 $ 3x + 4y - 5 = 0 $ 的距离为：
$$
d = \frac{
$$
通过上述内容，我们可以清晰地理解点到直线的距离公式的来源、使用方式及应用场景，便于在实际问题中灵活运用。
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