【高等数学基本公式】高等数学是大学理工科学生必修的一门基础课程，其内容涵盖函数、极限、导数、积分、级数、微分方程等多个方面。掌握这些基本公式是学习和应用高等数学的关键。以下是对高等数学中常用公式的总结，便于快速查阅与复习。
一、函数与极限
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 极限定义 | $\lim_{x \to a} f(x) = L$ | 当 $x$ 趋近于 $a$ 时，函数 $f(x)$ 的值趋近于 $L$ |
| 无穷小量 | $\alpha(x) \to 0$ | 当 $x \to a$ 时，$\alpha(x)$ 趋近于 0 |
| 无穷大量 | $\beta(x) \to \infty$ | 当 $x \to a$ 时，$\beta(x)$ 趋近于无穷大 |
| 重要极限1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常用于三角函数的极限计算 |
| 重要极限2 | $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ | 自然对数底 $e$ 的定义 |
二、导数与微分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 导数定义 | $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ | 函数在某点的变化率 |
| 基本导数 | $(x^n)' = nx^{n-1}$ | 幂函数的导数 |
| 链式法则 | $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ | 复合函数求导方法 |
| 乘积法则 | $(uv)' = u'v + uv'$ | 两个函数乘积的导数 |
| 商法则 | $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ | 两个函数商的导数 |
三、积分与不定积分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 不定积分定义 | $\int f(x) dx = F(x) + C$ | 若 $F'(x) = f(x)$，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数 | ||
| 基本积分公式 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$） | 幂函数的积分 | ||
| 指数函数积分 | $\int e^x dx = e^x + C$ | 指数函数的积分 | ||
| 对数函数积分 | $\int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C$ | 自然对数的积分 |
| 三角函数积分 | $\int \sin x dx = -\cos x + C$ | 正弦函数的积分 | ||
| 三角函数积分 | $\int \cos x dx = \sin x + C$ | 余弦函数的积分 |
四、微分方程初步
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 一阶线性微分方程 | $y' + P(x)y = Q(x)$ | 可用积分因子法求解 |
| 分离变量法 | $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ | 将变量分离后积分求解 |
| 可降阶方程 | 如 $y'' = f(x, y')$ | 可令 $p = y'$，化为一阶方程求解 |
| 齐次方程 | $y' = f\left(\frac{y}{x}\right)$ | 通过变量替换化简 |
五、级数与泰勒展开
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 等比数列求和 | $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$ | 当 $ | r | < 1$ 时，$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r}$ |
| 泰勒级数 | $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ | 在某点 $a$ 展开的函数级数 | ||
| 麦克劳林级数 | $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ | 在 $x = 0$ 处的泰勒展开 | ||
| 常见函数展开 | $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ | 指数函数的泰勒展开 | ||
| 常见函数展开 | $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | 正弦函数的泰勒展开 | ||
| 常见函数展开 | $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | 余弦函数的泰勒展开 |
六、向量与多元函数
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||||
| 向量点积 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | 两个向量的夹角余弦值 | |
| 向量叉积 | $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n}$ | 两个向量的垂直方向向量 | |
| 多元函数偏导数 | $\frac{\partial f}{\partial x}$ | 对某一变量求导，其他变量视为常数 | ||||
| 梯度 | $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$ | 函数在空间中的最大变化率方向 | ||||
| 二重积分 | $\iint_D f(x,y) dA$ | 在二维区域 $D$ 上的积分 | ||||
| 三重积分 | $\iiint_V f(x,y,z) dV$ | 在三维区域 $V$ 上的积分 |
以上是高等数学中一些基本公式和概念的总结，涵盖了函数、极限、导数、积分、微分方程、级数以及向量等内容。熟练掌握这些公式有助于理解高等数学的核心思想，并为进一步的学习打下坚实的基础。
