【洛必达法则求极限例题解析】在高等数学中，求极限是常见的问题之一。当遇到“0/0”或“∞/∞”型的未定式时，洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是一种非常有效的工具。本文将通过几个典型例题，详细解析如何运用洛必达法则求解极限，并以表格形式总结关键步骤与结果。
一、洛必达法则简介
洛必达法则指出：若函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在某点 $ x = a $ 的邻域内可导，且 $ g'(x) \neq 0 $，则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
前提是右边的极限存在或为无穷大。
适用于以下两种未定式：
- $\frac{0}{0}$
- $\frac{\infty}{\infty}$
二、例题解析
例题1：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
分析：
当 $ x \to 0 $ 时，分子 $\sin x \to 0$，分母 $x \to 0$，属于“0/0”型。
应用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1
$$
例题2：$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x}{e^x}$
分析：
当 $ x \to \infty $ 时，分子趋于无穷，分母 $ e^x $ 也趋于无穷，属于“∞/∞”型。
第一次应用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{e^x}
$$
第二次应用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0
$$
例题3：$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$
分析：
当 $ x \to 1 $ 时，分子 $ x^3 - 1 = 0 $，分母 $ x^2 - 1 = 0 $，属于“0/0”型。
应用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2}{2x} = \lim_{x \to 1} \frac{3x}{2} = \frac{3}{2}
$$
三、例题总结表
| 题号 | 极限表达式 | 类型 | 应用洛必达次数 | 最终结果 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 0/0 | 1次 | 1 |
| 2 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x}{e^x}$ | ∞/∞ | 2次 | 0 |
| 3 | $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ | 0/0 | 1次 | 3/2 |
四、注意事项
1. 适用条件：必须是“0/0”或“∞/∞”型，否则不能直接使用洛必达法则。
2. 多次应用：有时需要多次应用洛必达法则，直到得到确定值。
3. 慎用：如果极限不存在或为不定型，应考虑其他方法，如泰勒展开、因式分解等。
4. 避免误用：不要对非未定式使用洛必达法则，例如“1/0”或“0/1”等，这会导致错误结果。
通过以上例题与总结，可以看出洛必达法则是解决某些类型极限问题的有效手段。掌握其适用条件和使用方法，有助于提高解题效率与准确性。
