【复合函数求导公式什么】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的内容。它涉及到多个函数的组合，通过一种特殊的法则来求导，即“链式法则”（Chain Rule）。本文将对复合函数的求导公式进行总结，并以表格形式展示常见的复合函数类型及其对应的求导方法。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指由两个或多个函数组成的函数，通常表示为 $ y = f(g(x)) $。其中，$ g(x) $ 是内层函数，$ f(u) $ 是外层函数，$ u = g(x) $。求导时，需要先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
二、复合函数求导公式总结
| 复合函数形式 | 求导公式 | 说明 |
| $ y = f(u) $，其中 $ u = g(x) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $ | 链式法则，先对外层函数求导，再对内层函数求导，相乘得到结果 |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ \frac{dy}{dx} = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $ | 幂函数的导数，外层是幂函数，内层是原函数 |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | 指数函数的导数，外层是指数函数，内层是指数部分 |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | 对数函数的导数，外层是对数函数，内层是真数 |
| $ y = \sin(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \cos(g(x)) \cdot g'(x) $ | 正弦函数的导数，外层是正弦函数，内层是角度部分 |
| $ y = \cos(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = -\sin(g(x)) \cdot g'(x) $ | 余弦函数的导数，与正弦类似，但符号相反 |
| $ y = \tan(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \sec^2(g(x)) \cdot g'(x) $ | 正切函数的导数，外层是正切函数，内层是角度部分 |
三、使用注意事项
1. 正确识别内外函数：在应用链式法则前，首先要明确哪些是外层函数，哪些是内层函数。
2. 逐步求导：对于多层复合函数（如 $ y = f(g(h(x))) $），需逐层求导，直到最内层函数。
3. 注意符号变化：如余弦、正切等函数的导数中可能包含负号或平方项，需特别注意。
4. 熟练掌握基本导数：如三角函数、指数函数、对数函数等的基本导数公式是基础。
四、结语
复合函数的求导是微积分中的核心内容之一，掌握链式法则和各类常见复合函数的导数公式，有助于解决复杂的数学问题。通过不断练习和总结，可以提高对复合函数求导的理解和应用能力。
