【常见函数的z变换】在数字信号处理中，Z变换是一种重要的数学工具，用于分析和设计离散时间系统。Z变换可以将时域中的离散序列转换到复频域中，便于进行系统分析、滤波器设计以及稳定性判断等操作。以下是一些常见函数的Z变换及其对应的性质，以表格形式总结如下：
常见函数的Z变换表
| 序号 | 函数表达式（时域） | Z变换表达式（Z域） | 收敛域（ROC） | 说明 | ||||
| 1 | $ x[n] = \delta[n] $ | $ X(z) = 1 $ | 全平面（$ | z | > 0 $） | 单位脉冲函数 | ||
| 2 | $ x[n] = u[n] $ | $ X(z) = \frac{z}{z - 1} $ | $ | z | > 1 $ | 单位阶跃函数 | ||
| 3 | $ x[n] = a^n u[n] $ | $ X(z) = \frac{z}{z - a} $ | $ | z | > | a | $ | 指数序列 |
| 4 | $ x[n] = n a^n u[n] $ | $ X(z) = \frac{az}{(z - a)^2} $ | $ | z | > | a | $ | 加权指数序列 |
| 5 | $ x[n] = \cos(\omega_0 n) u[n] $ | $ X(z) = \frac{z(z - \cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1} $ | $ | z | > 1 $ | 余弦序列 | ||
| 6 | $ x[n] = \sin(\omega_0 n) u[n] $ | $ X(z) = \frac{z\sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1} $ | $ | z | > 1 $ | 正弦序列 | ||
| 7 | $ x[n] = r^n \cos(\omega_0 n) u[n] $ | $ X(z) = \frac{z(z - r\cos\omega_0)}{z^2 - 2rz\cos\omega_0 + r^2} $ | $ | z | > r $ | 衰减余弦序列 | ||
| 8 | $ x[n] = r^n \sin(\omega_0 n) u[n] $ | $ X(z) = \frac{zr\sin\omega_0}{z^2 - 2rz\cos\omega_0 + r^2} $ | $ | z | > r $ | 衰减正弦序列 |
总结说明：
1. 单位脉冲函数 $ \delta[n] $ 的Z变换为1，其收敛域为整个复平面（除了原点）。
2. 单位阶跃函数 $ u[n] $ 的Z变换是 $ \frac{z}{z - 1} $，收敛域为 $
3. 指数序列 $ a^n u[n] $ 的Z变换与收敛域密切相关，当 $
4. 加权指数序列 $ n a^n u[n] $ 的Z变换可通过对 $ a^n u[n] $ 的Z变换求导得到。
5. 三角函数序列如 $ \cos(\omega_0 n) u[n] $ 和 $ \sin(\omega_0 n) u[n] $ 的Z变换可以通过欧拉公式推导得出，适用于分析周期性或谐波信号。
6. 衰减序列如 $ r^n \cos(\omega_0 n) u[n] $ 是工程中常见的信号形式，常用于描述有阻尼的振荡系统。
这些Z变换结果在实际应用中非常有用，特别是在设计数字滤波器、分析系统稳定性以及进行信号建模时。掌握这些基本函数的Z变换有助于更深入地理解离散系统的特性。
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