【大学微积分必背公式】在大学微积分的学习过程中，掌握一些关键的公式是顺利应对考试和解决实际问题的基础。这些公式不仅帮助我们快速计算导数、积分等数学运算，还能提高解题效率和准确性。以下是对大学微积分中常用公式的总结，结合表格形式进行清晰展示。
一、基本导数公式
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = x^n $（n ≠ -1） | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = \sec^2 x $ | $ \int \sec^2 x dx = \tan x + C $ | ||
| $ f(x) = \csc^2 x $ | $ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C $ | ||
| $ f(x) = \sec x \tan x $ | $ \int \sec x \tan x dx = \sec x + C $ | ||
| $ f(x) = \csc x \cot x $ | $ \int \csc x \cot x dx = -\csc x + C $ |
三、常见函数的导数与积分关系
| 函数 | 导数 | 积分 | ||
| $ \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ x \ln x - x + C $ | ||
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C $ | ||
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
四、重要极限公式
| 公式 | 说明 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ | 常用于三角函数的极限计算 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $ | 指数函数的导数基础 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 $ | 对数函数的导数基础 |
| $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $ | 定义自然对数底e |
五、微积分基本定理
- 第一部分：若 $ F(x) = \int_a^x f(t) dt $，则 $ F'(x) = f(x) $
- 第二部分：若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则 $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $
总结
掌握上述微积分中的核心公式，不仅可以提升解题速度，还能加深对微积分概念的理解。建议在学习过程中反复练习，并结合具体例题加以巩固。通过不断应用这些公式，能够更灵活地应对各类微积分问题，为后续课程打下坚实基础。
