在数学领域中，阶乘是一个非常基础且重要的概念，它通常用于排列组合以及概率论等相关学科。对于一个正整数n来说，其阶乘表示为n!，定义为从1到n的所有正整数的乘积。例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。

那么，关于阶乘，有哪些主要的公式呢？以下是一些关键的表达方式和性质：

首先是最基本的递归定义：

\[ n! = n \times (n-1)! \]

这里需要注意的是，递归的基础条件是当 \( n=0 \) 或 \( n=1 \) 时，\( 0! = 1! = 1 \)。

其次，我们有阶乘与伽玛函数之间的关系。伽玛函数（Gamma Function）是阶乘向实数域甚至复数域的一种推广。对于正整数 \( n \)，伽玛函数满足：

\[ \Gamma(n+1) = n! \]

此外，在处理大数阶乘时，斯特林公式提供了一种近似的计算方法：

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

这个公式特别适用于估算非常大的 \( n \) 值时的阶乘大小。

最后值得一提的是双阶乘的概念，对于奇数或偶数序列的乘积，双阶乘用符号 \( n!! \) 表示：

- 若 \( n \) 为奇数，则 \( n!! = n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdots 1 \)

- 若 \( n \) 为偶数，则 \( n!! = n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdots 2 \)

这些公式不仅帮助我们更好地理解阶乘的本质，而且在实际应用中也具有重要意义。无论是理论研究还是工程实践，掌握这些基本原理都将大大提升解决问题的能力。