【等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两】在几何问题中，等腰三角形因其对称性常被用来构造各种有趣的题目。其中一类经典问题是：“等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分。” 这类问题需要结合等腰三角形的性质、中线的作用以及周长分割的特点来分析。
一、问题解析
设等腰三角形为△ABC，AB = AC（即AB和AC为两腰），BC为底边。D为AB的中点，即AD = DB = AB/2。中线CD将三角形的周长分成两部分：
- 一部分是AC + AD（即一腰加上半腰）
- 另一部分是DB + BC（即半腰加上底边）
根据题意，这两部分的长度分别为12cm和21cm。
二、解题思路
我们设等腰三角形的腰长为x，底边为y。则：
- 中线将周长分为：
- 第一部分：AC + AD = x + x/2 = 3x/2
- 第二部分：DB + BC = x/2 + y
因此，有两种可能的情况：
| 情况 | 分割方式 | 方程组 |
| 情况1 | 3x/2 = 12，x/2 + y = 21 | 解得：x = 8，y = 20 |
| 情况2 | 3x/2 = 21，x/2 + y = 12 | 解得：x = 14，y = 5 |
但需要注意的是，在情况2中，若腰长为14，底边为5，那么三角形两边之和必须大于第三边，即14 + 5 > 14，成立；但14 + 14 > 5，也成立。所以两种情况都满足三角形不等式。
三、结论总结
根据上述分析，可以得出以下两种可能的解：
| 腰长x (cm) | 底边y (cm) | 周长 (cm) | 分割结果 |
| 8 | 20 | 36 | 12 和 24 |
| 14 | 5 | 33 | 21 和 12 |
但注意，原题中给出的两个分割部分是12cm和21cm，因此只有当3x/2 = 21，x/2 + y = 12时，才能完全符合题意。
四、最终答案
等腰三角形的腰长为14cm，底边为5cm。
此时，三角形的周长为33cm，中线将周长分为21cm和12cm两部分，符合题意。
五、表格总结
| 项目 | 数值 |
| 腰长（x） | 14 cm |
| 底边（y） | 5 cm |
| 周长 | 33 cm |
| 分割部分1 | 21 cm |
| 分割部分2 | 12 cm |
通过以上分析可以看出，这类题目虽然看似简单，但需要仔细考虑不同情况，并验证是否符合三角形的基本性质。
