【怎么求点到平面的距离】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的问题。它不仅在数学中具有重要意义，在工程、物理和计算机图形学等领域也有广泛应用。掌握如何计算点到平面的距离，有助于解决许多实际问题。

以下是对“怎么求点到平面的距离”的总结与归纳，结合公式与实例，帮助读者更好地理解和应用。

一、点到平面距离的定义

设有一个平面 $ \pi $ 和一个不在该平面上的点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，那么点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离，是指从点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 所作的垂直线段的长度。

二、点到平面距离的公式

若平面的一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到该平面的距离 $ d $ 可以用如下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；

- $ D $ 是常数项；

- 分母是法向量的模长，用于归一化。

三、步骤解析

1. 确定平面方程：确保已知平面的方程形式为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $。

2. 代入点坐标：将点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 的坐标代入公式中的分子部分。

3. 计算绝对值：对分子部分取绝对值。

4. 计算分母：计算法向量的模长 $ \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} $。

5. 求出距离：将分子除以分母，得到点到平面的距离。

四、示例计算

假设平面方程为：$ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $

点 $ P(1, 2, -1) $

代入公式：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(-1) - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 - 6 - 5}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{-15}{\sqrt{49}} = \frac{15}{7}

$$

所以，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{15}{7} $。

五、表格总结

六、注意事项

- 若点在平面上，则距离为 0；

- 平面方程需为标准形式（即所有项移到等号左边）；

- 法向量的方向不影响距离的大小，只影响方向；

- 如果题目给出的是点法式或参数式平面方程，需要先转换为一般式再使用公式。

通过以上方法，可以快速准确地求出点到平面的距离。理解这一概念不仅能提升空间想象力，还能为后续更复杂的几何问题打下坚实基础。