【点到平面的距离公式】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的计算问题，广泛应用于数学、物理、工程和计算机图形学等领域。理解并掌握点到平面的距离公式，有助于解决实际中的空间定位、投影等问题。
一、点到平面距离的定义
设有一个平面 π 和一个不在该平面上的点 P(x₀, y₀, z₀)，那么点 P 到平面 π 的距离，指的是从点 P 向平面 π 所作的垂直线段的长度。
二、点到平面距离的公式
假设平面 π 的一般方程为：
$$
Ax + By + Cz + D = 0
$$
则点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到该平面的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：
$$
d = \frac{
$$
其中：
- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；
- $ D $ 是平面方程的常数项；
- 分母表示法向量的模长，用于归一化。
三、公式推导思路（简要）
1. 平面的法向量为 $ \vec{n} = (A, B, C) $。
2. 点 P 在平面上的投影点 Q 与 P 构成一条垂直于平面的直线。
3. 这条直线的方向向量就是法向量 $ \vec{n} $。
4. 通过向量投影公式，可以得到点 P 到平面的距离。
四、应用示例
| 平面方程 | 点坐标 | 计算结果 | ||
| $ x + y + z - 6 = 0 $ | $ (1, 2, 3) $ | $ \frac{ | 1+2+3-6 | }{\sqrt{1+1+1}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0 $ |
| $ 2x - y + 3z + 4 = 0 $ | $ (0, 0, 0) $ | $ \frac{ | 0 - 0 + 0 + 4 | }{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{4}{\sqrt{14}} $ |
| $ -x + 2y - z + 5 = 0 $ | $ (2, 1, -1) $ | $ \frac{ | -2 + 2 - (-1) + 5 | }{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{6}} $ |
五、总结
点到平面的距离公式是解析几何中的重要工具，能够快速计算出点与平面之间的最短距离。其核心在于利用平面的法向量和点的坐标进行代数运算，避免了复杂的几何构造。掌握这一公式不仅有助于数学学习，还能提升在实际问题中的建模能力。
表格总结：
| 内容 | 说明 | ||
| 公式 | $ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D | }{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $ |
| 法向量 | $ \vec{n} = (A, B, C) $ | ||
| 应用场景 | 几何、物理、计算机图形学等 | ||
| 特点 | 简洁、实用、通用性强 |
通过理解这个公式，我们可以更高效地处理三维空间中的距离问题，提升空间想象与数学分析能力。
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