在数学领域，特别是线性代数中，范德蒙行列式是一种具有特殊结构的行列式。它以法国数学家亚历山大·塞缪尔·范德蒙的名字命名，广泛应用于多项式插值、矩阵理论以及各种工程问题中。

范德蒙行列式的形式如下：

\[ V = \begin{vmatrix}

1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\

1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix} \]

这是一个 \( n \times n \) 的行列式，其中每一行都是一个等比数列，且公比为相应的 \( x_i \) 值。

范德蒙行列式的计算公式为：

\[ V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) \]

这个公式表明，范德蒙行列式的值是所有可能的 \( x_j - x_i \) 差值的乘积，其中 \( i < j \)。

举例说明

假设我们有一个简单的 3 阶范德蒙行列式：

\[ V = \begin{vmatrix}

1 & x_1 & x_1^2 \\

1 & x_2 & x_2^2 \\

1 & x_3 & x_3^2

\end{vmatrix} \]

根据公式，其值可以表示为：

\[ V = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) \]

应用场景

范德蒙行列式在许多实际问题中有重要应用。例如，在多项式插值中，它可以用来构造拉格朗日插值多项式；在矩阵分析中，它用于判断矩阵的非奇异性和稳定性。

通过理解范德蒙行列式的结构和计算方法，我们可以更好地解决涉及多项式和线性方程组的问题。这种行列式的简洁形式和广泛应用使其成为数学研究中的一个重要工具。