在概率论与数理统计中，指数分布是一种重要的连续型概率分布，广泛应用于描述事件发生的时间间隔或等待时间等场景。例如，在排队系统中，顾客到达的时间间隔可能服从指数分布；在可靠性工程中，设备故障之间的时间也可能符合这一分布。

指数分布的概率密度函数通常表示为：

\[ f(x; \lambda) =

\begin{cases}

\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0, \\

0, & x < 0,

\end{cases} \]

其中，\( \lambda > 0 \) 是分布的参数，代表事件发生的平均速率。

关于指数分布的一个重要特性是其方差的计算。对于一个随机变量 \( X \) 来说，其方差定义为：

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

对于指数分布而言，已知期望值 \( E(X) = \frac{1}{\lambda} \)，而二阶矩 \( E(X^2) \) 的计算可以通过积分得到：

\[ E(X^2) = \int_0^\infty x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx \]

通过分部积分法可以求得 \( E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2} \)。因此，指数分布的方差为：

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2} \]

综上所述，指数分布的方差等于其均值的平方，即 \( \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \)。这一结果不仅体现了指数分布在实际应用中的简洁性，也进一步加深了我们对其特性的理解。在具体问题分析时，合理利用这一性质能够简化许多复杂的推导过程，提高工作效率。