【等比数列通项公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。掌握等比数列的通项公式，有助于我们快速计算数列中的任意一项，理解数列的变化规律。
一、基本概念
- 等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，则称这个数列为等比数列。
- 公比（r）：等比数列中相邻两项的比值，通常用 r 表示。
- 首项（a₁）：等比数列的第一个数。
二、通项公式
等比数列的第 n 项（记作 aₙ）可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中：
- $ a_1 $ 是首项；
- $ r $ 是公比；
- $ n $ 是项数（n ≥ 1）。
三、公式推导说明
以首项为 a₁，公比为 r 的等比数列为例子：
- 第 1 项：$ a_1 $
- 第 2 项：$ a_1 \cdot r $
- 第 3 项：$ a_1 \cdot r^2 $
- 第 4 项：$ a_1 \cdot r^3 $
- ...
- 第 n 项：$ a_1 \cdot r^{n-1} $
由此可以看出，第 n 项是首项乘以公比的 (n−1) 次方。
四、典型例题解析
| 项数 n | 首项 a₁ | 公比 r | 第 n 项 aₙ |
| 1 | 3 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 2 | 6 |
| 3 | 3 | 2 | 12 |
| 4 | 3 | 2 | 24 |
| 5 | 3 | 2 | 48 |
根据公式 $ a_n = 3 \cdot 2^{n-1} $，可得各项数值。
五、总结
| 内容 | 说明 |
| 等比数列定义 | 每一项与前一项的比为定值 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 首项 | 数列的第一项，记作 $ a_1 $ |
| 公比 | 相邻两项的比值，记作 $ r $ |
| 应用 | 快速求出数列中任意一项，分析数列变化趋势 |
通过掌握等比数列的通项公式，我们可以更高效地处理相关的数学问题，并应用于实际生活中的许多场景，如金融利息计算、生物种群增长模型等。
