【空间向量夹角公式】在三维几何中，空间向量的夹角是研究两个向量之间关系的重要概念。通过计算两个向量之间的夹角，可以了解它们的方向关系，这在物理、工程、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

一、基本概念

空间向量是指在三维空间中的有向线段，通常用坐标形式表示，如：

$$ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $$

$$ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $$

两个向量之间的夹角θ（θ ∈ [0°, 180°]）可以通过它们的点积和模长来求解。

二、空间向量夹角公式

设两个向量为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，则它们之间的夹角θ满足以下公式：

$$

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}

$$

其中：

- $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ 是向量的点积；

- $\vec{a} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ 是向量 $\vec{a}$ 的模长；

- $\vec{b} = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$ 是向量 $\vec{b}$ 的模长。

三、计算步骤总结

四、示例说明

假设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，则：

- 点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32$

- 模长：$\vec{a} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$，$\vec{b} = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{77}$

- $\cos\theta = \frac{32}{\sqrt{14} \times \sqrt{77}} ≈ \frac{32}{\sqrt{1078}} ≈ 0.987$

因此，$\theta ≈ \arccos(0.987) ≈ 10^\circ$（近似值）

五、注意事项

- 当两个向量方向相同或相反时，夹角分别为0°或180°；

- 若点积为0，则两向量垂直，夹角为90°；

- 公式适用于任意维度的向量，但通常用于三维空间中；

- 实际应用中，可使用计算器或编程语言（如Python、MATLAB）进行精确计算。

六、总结

空间向量夹角公式是分析向量方向关系的核心工具。通过点积与模长的结合，能够快速准确地计算出两个向量之间的夹角，为后续的几何分析、物理建模等提供了坚实的基础。

表格总结：