【叉乘运算公式】在向量代数中，叉乘（Cross Product）是一种在三维空间中对两个向量进行运算的方法，结果是一个与这两个向量都垂直的向量。叉乘在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛应用，尤其在计算力矩、旋转方向和法向量等方面非常常见。

一、叉乘的基本概念

设两个三维向量分别为 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘记作 a × b，其结果是一个新的向量，记为 c = a × b，满足以下性质：

- 方向：由右手定则确定，即四指从a转向b时，拇指指向c的方向。

- 模长：c = absinθ，其中θ是a与b之间的夹角。

- 垂直性：c同时垂直于a和b。

二、叉乘的计算公式

叉乘的计算可以通过行列式的方式进行，具体公式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开后得到：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以表示为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\left( a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

三、叉乘的性质总结

四、叉乘的应用举例

五、小结

叉乘是向量运算中一种重要的工具，具有明确的几何意义和丰富的数学性质。通过掌握其计算公式和基本性质，可以在多个实际问题中灵活运用。无论是理论研究还是工程应用，理解叉乘的原理和方法都是非常必要的。