【微积分公式是什么】微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的变化率和累积量。它在物理、工程、经济学等领域有广泛应用。微积分主要包括两个核心部分：微分学和积分学。以下是对微积分中常见公式的总结。
一、微分学公式
微分学主要用于研究函数的瞬时变化率，即导数。以下是常见的微分公式：
| 公式 | 说明 |
| $ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} $ | 幂函数求导法则 |
| $ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x $ | 正弦函数的导数 |
| $ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数 |
| $ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x $ | 指数函数的导数 |
| $ \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ \frac{d}{dx} (u \cdot v) = u'v + uv' $ | 乘积法则 |
| $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 商法则 |
| $ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 链式法则 |
二、积分学公式
积分学用于计算函数在某一区间上的累积量，分为不定积分和定积分两种形式。
不定积分常用公式：
| 公式 | 说明 | ||
| $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数的不定积分 | ||
| $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | 正弦函数的积分 | ||
| $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | 余弦函数的积分 | ||
| $ \int e^x dx = e^x + C $ | 指数函数的积分 | ||
| $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ | 倒数函数的积分 |
| $ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C $ | 反三角函数的积分 |
定积分公式（牛顿-莱布尼茨公式）：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
三、常见积分技巧
| 方法 | 说明 |
| 换元积分法 | 通过变量替换简化积分表达式 |
| 分部积分法 | $ \int u dv = uv - \int v du $ |
| 三角代换 | 适用于含根号或平方项的积分 |
| 分式分解 | 将复杂分式拆解为简单分式之和 |
四、微积分的应用
微积分不仅在数学理论中占据重要地位，还在实际问题中广泛应用，例如：
- 物理学：计算速度、加速度、功等；
- 工程学：优化设计、分析结构稳定性；
- 经济学：求解边际成本、收益和利润；
- 计算机科学：图像处理、机器学习算法优化。
总结
微积分公式是理解函数变化和积累的重要工具，涵盖了导数与积分的基本规则及应用方法。掌握这些公式不仅能帮助解决数学问题，还能提升对现实世界中动态过程的理解能力。无论是学生还是研究人员，都应该熟悉并灵活运用这些基本公式。
