在概率论与数理统计中，数学期望和方差是两个非常重要的概念。它们分别描述了随机变量的中心位置以及数据分布的离散程度。为了更好地理解和应用这两个核心指标，掌握一些基本的公式是非常必要的。

首先来看数学期望的相关公式。假设 \( X \) 是一个离散型随机变量，其可能取值为 \( x_1, x_2, \dots, x_n \)，对应的概率分别为 \( p_1, p_2, \dots, p_n \)，则 \( X \) 的数学期望可以表示为：

\[

E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i

\]

对于连续型随机变量 \( Y \)，如果其概率密度函数为 \( f(y) \)，那么它的数学期望可以写成积分形式：

\[

E(Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} y f(y) dy

\]

接下来讨论方差的计算方法。方差衡量的是随机变量与其均值之间的偏离程度，定义为：

\[

D(X) = E[(X - E(X))^2]

\]

展开后得到更常用的表达式：

\[

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

\]

当涉及到多个随机变量时，联合期望和联合方差也十分重要。若 \( X \) 和 \( Y \) 是两个随机变量，则它们的联合期望满足以下性质：

\[

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), \quad a,b \in \mathbb{R}

\]

而联合方差则需考虑交叉项的影响：

\[

D(aX + bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) + 2ab \text{Cov}(X,Y)

\]

其中，协方差 \(\text{Cov}(X,Y)\) 描述了两个随机变量之间的线性关系强度，具体定义为：

\[

\text{Cov}(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

\]

最后需要强调的是，这些公式的实际运用往往依赖于具体问题背景下的已知条件。因此，在学习过程中不仅要熟记上述公式，还需要结合实例灵活运用，这样才能真正掌握数学期望和方差的本质内涵。