在数学分析领域中，Stolz定理是一个非常重要的工具，它为解决某些特殊类型的数列极限问题提供了便利。本文将围绕Stolz定理的推论展开讨论，并结合具体实例说明其实际应用。
Stolz定理简介
Stolz定理本质上是L'Hôpital法则的一种离散版本，主要用于处理形如$\frac{a_n}{b_n}$的数列极限问题。假设$\{a_n\}$和$\{b_n\}$均为严格单调递增数列，且满足$b_n \to +\infty$，则有：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n},
$$
只要右侧极限存在或为无穷大。
这一公式的核心思想在于通过差分运算简化复杂表达式的极限计算过程，从而避免直接对分子与分母同时趋于无穷的情况进行繁琐分析。
推论形式
基于上述定义，我们可以引申出一些有用的推论形式：
推论1：双层结构的极限
如果$\{c_n\}, \{d_n\}$满足$c_n > 0, d_n > 0$，并且$\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} d_n = +\infty$，那么：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n c_k}{\sum_{k=1}^n d_k} = \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{d_{n+1}},
$$
只要右侧极限存在或为无穷大。
推论2：指数增长的特殊情况
当$c_n = r^n, d_n = s^n$（其中$r, s > 1$），则有：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n r^k}{\sum_{k=1}^n s^k} = \begin{cases}
r/s & \text{若 } r < s; \\
1 & \text{若 } r = s; \\
+\infty & \text{若 } r > s.
\end{cases}
$$
这些推论极大地扩展了Stolz定理的应用范围，使得许多原本难以求解的问题变得直观易懂。
应用案例解析
案例1：经典幂次比值问题
求解$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{2^n}$。
首先注意到这是一个$\frac{\infty}{\infty}$型不定式，因此可以直接套用Stolz定理。设$a_n = n^3, b_n = 2^n$，则：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 - n^3}{2^{n+1} - 2^n}.
$$
计算分子部分：
$$
(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1.
$$
分母部分：
$$
2^{n+1} - 2^n = 2^n(2-1) = 2^n.
$$
因此：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 3n + 1}{2^n}.
$$
再次应用Stolz定理（针对新的比值），可以进一步化简直至得到结果为零。最终答案为：
$$
\boxed{0}.
$$
案例2：指数级增长序列
考虑$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n k^2}{\sum_{k=1}^n k^3}$。
利用推论1，我们只需考察最后一项的比值：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{k^2}{k^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{k} = 0.
$$
因此：
$$
\boxed{0}.
$$
总结
Stolz定理及其推论为处理复杂的数列极限问题提供了一种高效且直观的方法。通过对差分运算的合理运用，不仅能够简化计算步骤，还能帮助我们更深刻地理解极限的本质。希望本文能为读者在学习与实践中带来启发！
