在信号处理、物理学、工程学以及数学分析等多个领域中，傅里叶变换是一种极为重要的工具。它能够将一个时间域或空间域的函数转换为频率域中的表示，从而帮助我们更深入地理解信号的组成和特性。对于许多学习者和研究者来说，掌握傅里叶变换的基本公式是必不可少的一步。
以下是一份较为全面的傅里叶变换公式表，涵盖了常见的几种形式，包括连续傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）以及一些常见函数的傅里叶变换对。
一、连续傅里叶变换（Fourier Transform）
设函数 $ f(t) $ 是可积的，则其傅里叶变换定义为：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt
$$
逆变换为：
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega
$$
其中，$ \omega $ 是角频率，单位为弧度/秒。
二、离散傅里叶变换（DFT）
对于长度为 $ N $ 的序列 $ x[n] $，其 DFT 定义为：
$$
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i2\pi kn/N}, \quad k = 0, 1, ..., N-1
$$
逆变换为：
$$
x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i2\pi kn/N}, \quad n = 0, 1, ..., N-1
$$
三、快速傅里叶变换（FFT）
FFT 是 DFT 的高效计算方法，通常基于分治策略，将复杂度从 $ O(N^2) $ 降低到 $ O(N \log N) $。虽然 FFT 是一种算法，但其本质仍然是 DFT 的实现方式。
四、常用函数的傅里叶变换对
| 原函数 $ f(t) $ | 傅里叶变换 $ F(\omega) $ |
|------------------|---------------------------|
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ |
| $ 1 $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ |
| $ e^{-a|t|} $ | $ \frac{2a}{a^2 + \omega^2} $ |
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ |
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ j\pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ |
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}(\omega/2) $ |
| $ \text{sinc}(t) $ | $ \pi \text{rect}(\omega/2) $ |
五、傅里叶变换的性质
为了更好地理解和应用傅里叶变换，了解其基本性质非常重要，例如：
- 线性性：$ \mathcal{F}\{af(t) + bg(t)\} = aF(\omega) + bG(\omega) $
- 时移性质：$ \mathcal{F}\{f(t - t_0)\} = e^{-i\omega t_0} F(\omega) $
- 频移性质：$ \mathcal{F}\{e^{i\omega_0 t} f(t)\} = F(\omega - \omega_0) $
- 卷积定理：$ \mathcal{F}\{f(t) g(t)\} = F(\omega) G(\omega) $
六、小结
傅里叶变换作为一种强大的数学工具，广泛应用于各种科学与工程问题中。无论是分析周期性信号、图像处理，还是通信系统设计，傅里叶变换都扮演着至关重要的角色。掌握其基本公式和性质，有助于更高效地解决实际问题。
如果你正在学习相关知识，建议结合实例进行练习，并通过编程工具（如 Python 的 NumPy 或 MATLAB）来加深理解。希望这份傅里叶变换公式表对你有所帮助！
