tan15° 的值等于多少？

在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具。其中，正切函数（tangent）是一种非常常见的三角函数，通常表示为 tan。本文将探讨 tan15° 的具体数值及其推导过程。

什么是 tan15°？

tan15° 是指在一个直角三角形中，其中一个锐角为 15° 时，该角的对边与邻边之比。为了更直观地理解，我们可以利用三角恒等式和几何方法来求解。

tan15° 的计算公式

我们知道，15° 可以表示为两个特殊角的差值，即 45° - 30°。因此，可以使用三角函数的差角公式：

\[

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}

\]

将 A = 45° 和 B = 30° 代入公式，得到：

\[

\tan(45° - 30°) = \frac{\tan 45° - \tan 30°}{1 + \tan 45° \cdot \tan 30°}

\]

根据已知的特殊角值：

- tan 45° = 1

- tan 30° = √3 / 3

代入后计算：

\[

\tan(15°) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}

\]

化简分母和分子：

\[

\tan(15°) = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}

\]

进一步简化为：

\[

\tan(15°) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}

\]

最后，通过有理化分母，得到最终结果：

\[

\tan(15°) = 2 - \sqrt{3}

\]

实际应用

tan15° 的值在工程学、物理学以及建筑学等领域都有广泛的应用。例如，在建筑设计中，可以通过 tan15° 计算斜坡的角度或高度；在天文学中，它也可以用于计算星体的位置。

总结

通过上述推导，我们得出 tan15° 的值为 \(2 - \sqrt{3}\)。这一结果不仅展示了数学公式的强大，也体现了其在实际问题中的实用性。希望本文能帮助您更好地理解和掌握三角函数的相关知识。

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