【点到平面的距离公式】在三维几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，常用于计算空间中点与平面之间的最短距离。该距离的计算依赖于平面的方程和点的坐标。以下是对“点到平面的距离公式”的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、公式概述
设有一个平面，其一般式方程为：
$$
Ax + By + Cz + D = 0
$$
其中，$A, B, C$ 是平面的法向量分量，$D$ 是常数项。
若有一点 $P(x_0, y_0, z_0)$，则点 $P$ 到该平面的距离 $d$ 可由以下公式计算：
$$
d = \frac{
$$
二、公式解析
- 分子部分：$
- 分母部分：$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ 是法向量的模长，用于将投影差归一化为实际距离。
三、应用举例
| 平面方程 | 点 P 坐标 | 计算过程 | 距离 d | ||||
| $2x + 3y - z + 4 = 0$ | (1, 2, 3) | $ | 2×1 + 3×2 - 1×3 + 4 | / \sqrt{4+9+1} = | 2+6-3+4 | / \sqrt{14} = 9/\sqrt{14} $ | $9/\sqrt{14}$ |
| $x - y + z - 5 = 0$ | (0, 0, 0) | $ | 0 - 0 + 0 - 5 | / \sqrt{1+1+1} = 5/\sqrt{3} $ | $5/\sqrt{3}$ | ||
| $4x + 0y + 0z - 8 = 0$ | (2, 5, 7) | $ | 4×2 + 0 + 0 - 8 | / \sqrt{16+0+0} = | 8-8 | /4 = 0 $ | 0 |
四、注意事项
- 当点位于平面上时，距离为 0。
- 公式适用于任意三维空间中的点和平面，不依赖于坐标系的方向。
- 若已知平面的法向量和一点，也可以通过向量点积的方式求解距离。
五、总结
点到平面的距离公式是解决三维几何问题的重要工具，尤其在计算机图形学、工程设计、物理建模等领域有广泛应用。理解并掌握该公式的推导与应用，有助于提高空间思维能力和数学建模能力。
| 关键点 | 内容说明 | ||
| 公式名称 | 点到平面的距离公式 | ||
| 公式表达式 | $d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D | }{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ |
| 应用场景 | 三维几何、计算机图形学、工程计算等 | ||
| 注意事项 | 点在平面上时距离为 0；分母为法向量的模长 |
通过以上内容，可以系统地理解和应用“点到平面的距离公式”。
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