在高等数学的学习中，掌握一些基础的公式是非常重要的。这些公式不仅帮助我们理解更复杂的概念，还为解决实际问题提供了工具。下面是一些常用的高数基础公式：
极限与连续性
1. 极限的四则运算法则：
若 $\lim_{x \to a} f(x) = A$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = B$，那么：
$$
\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B
$$
$$
\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B
$$
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}, (B \neq 0)
$$
2. 夹逼定理（Squeeze Theorem）：
如果在某点附近，有三个函数 $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$，并且 $\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L$，那么 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。
3. 连续性定义：
函数 $f(x)$ 在点 $x = a$ 处连续当且仅当：
$$
\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
$$
导数与微分
4. 基本导数公式：
- $(C)' = 0$, 其中 $C$ 是常数。
- $(x^n)' = n x^{n-1}$, $n$ 是实数。
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(e^x)' = e^x$
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
5. 链式法则：
如果 $y = f(g(x))$，那么：
$$
y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
6. 微分形式不变性：
对于复合函数 $y = f(u)$，其中 $u = g(x)$，有：
$$
dy = f'(u) du = f'(g(x)) g'(x) dx
$$
积分
7. 不定积分的基本公式：
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, (n \neq -1)$
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
8. 定积分的几何意义：
定积分 $\int_a^b f(x) dx$ 表示由曲线 $y = f(x)$，直线 $x = a$ 和 $x = b$ 以及 $x$ 轴围成的区域面积。
9. 牛顿-莱布尼兹公式：
如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
以上是高等数学中一些基本的公式和概念。通过熟练掌握这些内容，可以为进一步学习更深入的数学知识打下坚实的基础。希望这些内容对大家有所帮助！
