在数学领域中，泰勒展开是一种非常重要的工具，它能够将复杂的函数转化为简单的多项式形式，从而方便我们进行计算和分析。这种展开方法广泛应用于微积分、物理学、工程学等多个领域。接下来，我们将介绍十个常用的泰勒展开公式。

1. 指数函数

\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \)

2. 正弦函数

\( \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \)

3. 余弦函数

\( \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \)

4. 自然对数

\( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \) （当 \(|x| < 1\)）

5. 平方根函数

\( \sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots \) （当 \(|x| < 1\)）

6. 倒数函数

\( \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \) （当 \(|x| < 1\)）

7. 反三角函数（反正切）

\( \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \) （当 \(|x| \leq 1\)）

8. 双曲正弦函数

\( \sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots \)

9. 双曲余弦函数

\( \cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots \)

10. 对数函数的另一种形式

\( \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots\right) \) （当 \(|x| < 1\)）

这些公式不仅帮助我们理解函数的局部行为，还能用于数值计算和理论推导。掌握这些泰勒展开公式，对于解决实际问题具有重要意义。