tan75°等于多少，过程详解
在数学中，三角函数是一个重要的组成部分，而正切函数（tangent）是其中的一种基本函数。今天我们来探讨一个具体的例子：计算tan75°的值，并详细展示推导过程。
一、公式回顾
正切函数的定义为：
\[
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\]
因此，要计算tan75°，我们需要先分别求出sin75°和cos75°的值。
二、角度分解法
75°可以被分解为两个特殊角的和，即：
\[
75^\circ = 45^\circ + 30^\circ
\]
利用加法定理，我们有：
\[
\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
\]
代入a=45°，b=30°，则：
\[
\tan75^\circ = \frac{\tan45^\circ + \tan30^\circ}{1 - \tan45^\circ \cdot \tan30^\circ}
\]
已知：
\[
\tan45^\circ = 1, \quad \tan30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
将这些值代入公式：
\[
\tan75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}
\]
化简分母和分子：
\[
\tan75^\circ = \frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}
\]
约去分母中的3后：
\[
\tan75^\circ = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}
\]
三、有理化分母
为了使表达式更加简洁，我们将分母有理化：
\[
\tan75^\circ = \frac{(3+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}
\]
分子展开：
\[
(3+\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 9 + 6\sqrt{3} + 3 = 12 + 6\sqrt{3}
\]
分母展开：
\[
(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 9 - 3 = 6
\]
因此：
\[
\tan75^\circ = \frac{12+6\sqrt{3}}{6}
\]
进一步化简：
\[
\tan75^\circ = 2 + \sqrt{3}
\]
四、总结
通过上述步骤，我们得出：
\[
\tan75^\circ = 2 + \sqrt{3}
\]
这就是最终答案。希望这个详细的推导过程能帮助您更好地理解正切函数的计算方法。
---
