在数学优化领域，单纯形法是一种广泛应用于线性规划问题的经典算法。它通过逐步迭代的方式，在可行解空间中寻找最优解。本文将详细解析单纯形法的核心步骤，帮助读者全面理解这一算法的运作原理。

一、问题描述与标准形式

单纯形法主要解决的是线性规划问题，其一般形式为：

- 目标函数：最大化或最小化一个线性函数，例如 \( z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n \)。

- 约束条件：一组线性不等式或等式，例如 \( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n \leq b_1 \)。

- 变量非负约束：所有变量 \( x_i \geq 0 \)。

为了便于处理，线性规划问题通常需要转化为标准形式：

1. 目标函数为最大化；

2. 所有约束条件均为等式；

3. 变量非负。

二、初始基可行解

单纯形法的核心思想是基于基可行解进行迭代优化。初始基可行解是指满足所有约束条件且变量值非负的一组解。构造初始基可行解的方法包括：

1. 人工变量法：引入人工变量，将不等式约束转化为等式约束，并通过惩罚项逐步消除这些人工变量。

2. 大M法：在目标函数中加入一个足够大的常数 \( M \)，用于惩罚人工变量的存在。

三、单纯形表的构建

单纯形表是一个二维表格，用于记录当前问题的所有信息，包括系数矩阵、右侧常数、目标函数值以及检验数。构建单纯形表的主要步骤如下：

1. 将约束条件写成增广矩阵形式；

2. 引入松弛变量或人工变量，确保每个约束都有一个单位矩阵作为基础；

3. 计算目标函数的检验数，以判断当前解是否为最优解。

四、迭代优化过程

单纯形法的核心在于通过迭代优化逐步改进解的质量。具体步骤如下：

1. 选择入基变量：从检验数中选取最大的正值（对应于目标函数的提升方向）。

2. 确定出基变量：通过最小比值规则（即 \( \min(b_i / a_{ij}) \)）确定哪个变量需要离开当前基。

3. 更新单纯形表：对新的基可行解进行更新，重新计算检验数并判断是否达到最优解。

五、终止条件

当所有检验数均小于等于零时，说明当前解已经是最优解，算法终止。此时的目标函数值即为所求的最大值或最小值。

六、实例分析

假设我们有一个简单的线性规划问题：

- 目标函数：\( z = 3x_1 + 5x_2 \)

- 约束条件：

\[

\begin{aligned}

& x_1 + x_2 \leq 4 \\

& 2x_1 + x_2 \leq 5 \\

& x_1, x_2 \geq 0

\end{aligned}

\]

通过上述步骤，我们可以构造初始单纯形表并逐步迭代，最终得到最优解为 \( (x_1, x_2) = (1, 3) \)，目标函数值为 \( z = 18 \)。

七、总结

单纯形法是一种高效且直观的线性规划求解方法，其核心在于通过基变换逐步逼近最优解。掌握单纯形法的关键在于熟练运用单纯形表和迭代规则。希望本文的详细解析能够帮助读者更好地理解和应用这一经典算法。