在微积分的学习过程中，我们常常会遇到这样的问题：“哪个函数的导数是 arctanx？” 这个问题看似简单，但背后却蕴含着丰富的数学知识和技巧。今天我们就来深入探讨一下这个问题，帮助你更好地理解反导数（即不定积分）与原函数之间的关系。
首先，我们需要明确一点：arctanx 是一个函数，它的导数是 1/(1+x²)。也就是说，如果我们对 arctanx 求导，结果是 1/(1+x²)。但我们现在的问题是反过来的：我们要找的是一个函数，它的导数等于 arctanx。换句话说，我们要寻找的是 arctanx 的不定积分。
数学上，我们可以将这个问题表达为：
$$
\int \arctan x \, dx = ?
$$
接下来，我们可以通过分部积分法来求解这个积分。分部积分法的公式是：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们令：
- $ u = \arctan x $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $
- $ dv = dx $，则 $ v = x $
代入分部积分公式中：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来，我们只需要计算右边的积分：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
这个积分可以通过换元法来解决。令：
- $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{dt}{2} $
代入后得到：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
因此，原式变为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
这就是我们所求的原函数，也就是导数为 arctanx 的函数。
总结：
- 问题：哪个函数的导数是 arctanx？
- 答案：函数 $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ 的导数是 arctanx。
- 方法：通过分部积分法和换元法结合使用，可以求出该函数。
如果你正在学习微积分或准备考试，掌握这类反向求导的问题是非常有帮助的。它不仅加深了你对积分和导数之间关系的理解，也提升了你在复杂问题中的分析能力。希望这篇文章能为你提供清晰的思路和实用的知识！
