在数学分析中，导数是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。掌握导数的基本公式，不仅能够帮助我们快速求解各类问题，还能为更复杂的数学推导奠定坚实的基础。以下是导数的14个基本公式，涵盖了常见的函数类型和运算规则。

一、幂函数的导数

1. 常数的导数

若 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是常数，则 \( f'(x) = 0 \)。

2. 幂函数的导数

若 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数，则 \( f'(x) = nx^{n-1} \)。

3. 根号函数的导数

若 \( f(x) = \sqrt{x} \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)。

二、指数函数的导数

4. 指数函数的导数

若 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = e^x \)。

5. 底数为 \( a \) 的指数函数的导数

若 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)，则 \( f'(x) = a^x \ln(a) \)。

三、对数函数的导数

6. 自然对数的导数

若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。

7. 一般对数的导数

若 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \)。

四、三角函数的导数

8. 正弦函数的导数

若 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( f'(x) = \cos(x) \)。

9. 余弦函数的导数

若 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( f'(x) = -\sin(x) \)。

10. 正切函数的导数

若 \( f(x) = \tan(x) \)，则 \( f'(x) = \sec^2(x) \)。

11. 余切函数的导数

若 \( f(x) = \cot(x) \)，则 \( f'(x) = -\csc^2(x) \)。

五、反三角函数的导数

12. 反正弦函数的导数

若 \( f(x) = \arcsin(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。

13. 反余弦函数的导数

若 \( f(x) = \arccos(x) \)，则 \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。

14. 反正切函数的导数

若 \( f(x) = \arctan(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)。

以上便是导数的14个基本公式，涵盖了常见函数及其组合的导数计算方法。熟练掌握这些公式，不仅能提升解题效率，还能加深对函数性质的理解。希望本文能为大家的学习提供一定的帮助！