在物理学中，康普顿散射是一种重要的现象，它描述了光子与自由电子之间的弹性碰撞过程。这一现象由美国物理学家亚瑟·康普顿于1923年首次发现，并因此获得了1927年的诺贝尔物理学奖。康普顿散射不仅验证了光子具有粒子性，还为量子力学的发展提供了重要支持。

为了更好地理解康普顿散射，我们需要从基本原理出发进行详细的数学推导。假设一个能量为E的光子与一个静止的自由电子发生碰撞，碰撞后光子的能量变为E'，而电子获得了一定的动能。根据能量守恒定律和动量守恒定律，我们可以建立相应的方程组来描述这一过程。

首先，考虑能量守恒：

\[ E + m_e c^2 = E' + \sqrt{(p'_e)^2c^2 + (m_e c^2)^2} \]

其中 \(m_e\) 是电子的质量，\(c\) 是光速，\(p'_e\) 是碰撞后电子的动量。

其次，考虑动量守恒：

\[ \vec{p} = \vec{p}'_e + \vec{p}'_\gamma \]

这里 \(\vec{p}\) 和 \(\vec{p}'_\gamma\) 分别表示光子在碰撞前后的动量。

由于光子的动量与其波长有关（\(p = h/\lambda\)），并且考虑到碰撞前后光子频率的变化，我们可以进一步简化上述方程组。通过引入角度变量 \(\theta\) 表示光子偏转的角度，最终可以得到康普顿散射的经典公式：

\[\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1-\cos\theta)\]

这个公式表明，当光子与电子发生散射时，其波长的变化仅依赖于散射角 \(\theta\) 和一些基本物理常数。这一结果揭示了光子与物质相互作用的本质特性，同时也为后续研究奠定了坚实的基础。

总之，通过对康普顿散射公式的推导，我们能够深刻认识到微观世界中粒子间相互作用的基本规律。这些知识对于现代物理学尤其是量子场论的发展起到了至关重要的推动作用。