【反三角函数公式】反三角函数是三角函数的反函数，主要用于已知三角函数值求对应的角度。在数学、物理、工程等领域中广泛应用。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。以下是这些函数的基本定义、定义域、值域及常用公式总结。
一、反三角函数基本定义
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | $ y = \arcsin x $ | $ [-1, 1] $ | $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ |
| 反余弦 | $ y = \arccos x $ | $ [-1, 1] $ | $ [0, \pi] $ |
| 反正切 | $ y = \arctan x $ | $ (-\infty, +\infty) $ | $ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ |
二、反三角函数的性质与公式
1. 反函数关系
- $ \sin(\arcsin x) = x $，其中 $ x \in [-1, 1] $
- $ \cos(\arccos x) = x $，其中 $ x \in [-1, 1] $
- $ \tan(\arctan x) = x $，其中 $ x \in \mathbb{R} $
2. 互为补角关系
- $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $，其中 $ x \in [-1, 1] $
- $ \arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} $，其中 $ x \in \mathbb{R} $
3. 对称性
- $ \arcsin(-x) = -\arcsin x $
- $ \arccos(-x) = \pi - \arccos x $
- $ \arctan(-x) = -\arctan x $
4. 公式转换
- $ \arcsin x = \arctan \left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) $，其中 $ x \in (-1, 1) $
- $ \arccos x = \arctan \left( \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \right) $，其中 $ x \in (0, 1] $
三、常见特殊值
| x | arcsin x | arccos x | arctan x |
| 0 | 0 | $ \frac{\pi}{2} $ | 0 |
| $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\pi}{6} $ |
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\pi}{4} $ |
| $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{\pi}{3} $ |
| 1 | $ \frac{\pi}{2} $ | 0 | $ \frac{\pi}{4} $ |
四、应用举例
1. 解方程：如 $ \sin x = \frac{1}{2} $，则 $ x = \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6} $ 或 $ \frac{5\pi}{6} $。
2. 几何问题：在直角三角形中，若对边为1，斜边为2，则夹角为 $ \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6} $。
3. 工程计算：在机械设计中，用于计算角度或旋转方向。
五、注意事项
- 反三角函数的输出范围是固定的，因此在使用时要注意结果是否符合实际情境。
- 在编程语言中（如Python、MATLAB），通常使用 `asin`、`acos`、`atan` 等函数表示反三角函数。
- 部分教材或软件可能采用不同的符号表示方式，如 `sin^{-1}`、`cos^{-1}` 等，需注意区分。
通过以上内容，可以系统地掌握反三角函数的基本公式和应用场景，为后续的数学学习和实际问题解决提供基础支持。
