【x（sup2及e的x次方的积分）】在微积分中，求解形如 $ x^2 e^x $ 的函数的积分是一个常见的问题。这个积分可以通过分部积分法来完成。由于被积函数是多项式与指数函数的乘积，因此需要多次应用分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
下面是对 $ \int x^2 e^x \, dx $ 的详细推导和总结。
积分过程总结
1. 第一次分部积分
设：
- $ u = x^2 $ → $ du = 2x \, dx $
- $ dv = e^x \, dx $ → $ v = e^x $
则：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx
$$
2. 第二次分部积分（对 $ \int 2x e^x \, dx $）
再设：
- $ u = 2x $ → $ du = 2 \, dx $
- $ dv = e^x \, dx $ → $ v = e^x $
则：
$$
\int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2e^x + C
$$
3. 代入原式
将上述结果代回原积分：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C
$$
最终结果
$$
\int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C
$$
表格总结
| 步骤 | 积分表达式 | 分部积分选择 | 结果 |
| 第一步 | $ \int x^2 e^x \, dx $ | $ u = x^2, dv = e^x dx $ | $ x^2 e^x - \int 2x e^x dx $ |
| 第二步 | $ \int 2x e^x dx $ | $ u = 2x, dv = e^x dx $ | $ 2x e^x - \int 2 e^x dx $ |
| 第三步 | $ \int 2 e^x dx $ | 直接积分 | $ 2e^x + C $ |
| 最终结果 | $ \int x^2 e^x dx $ | — | $ e^x (x^2 - 2x + 2) + C $ |
通过以上步骤，我们得到了 $ x^2 e^x $ 的不定积分表达式。这种类型的积分在物理、工程以及数学建模中都有广泛应用，尤其是在处理指数增长或衰减过程中涉及二次项的问题时。
