在数学领域中，一元三次方程是形如ax³+bx²+cx+d=0（a≠0）的一种代数方程。它比一元二次方程复杂得多，但通过一些巧妙的方法，我们仍然可以找到其根的表达式。接下来，我们将探讨这一过程。

首先，为了简化方程，我们可以先进行变量替换，将三次项系数化为1。设原方程为ax³+bx²+cx+d=0，则令y=x+(b/(3a))，这样可以消除二次项，得到一个新的方程y³+py+q=0的形式。

接着，我们采用卡尔达诺公式来求解这个简化后的方程。首先定义两个辅助变量u和v，满足以下关系：

\[ u^3 + v^3 = -q \]

\[ uv = -\frac{p}{3} \]

通过解这两个等式，我们可以得到u³和v³的具体值。然后利用立方根函数分别求出u和v。最后，三次方程的三个根可以通过以下公式给出：

\[ y_1 = u + v \]

\[ y_2 = \omega u + \omega^2 v \]

\[ y_3 = \omega^2 u + \omega v \]

其中，ω是一个三次单位根，即满足ω³=1且ω≠1的复数。

值得注意的是，在实际应用过程中，可能会遇到虚数解的情况。这时需要进一步处理才能得到实数解。此外，对于某些特殊情况，可能存在重根或者仅有一个实根的情形，这些都需要特别注意。

总结来说，虽然一元三次方程的解法较为繁琐，但通过上述步骤，我们能够系统地推导出其所有可能的解。这种方法不仅展示了数学逻辑之美，也为解决更复杂的高次方程提供了基础思路。