tan75度等于多少

在数学中，三角函数是一个非常重要的部分，而tan（正切）函数则是其中不可或缺的一员。今天，我们就来探讨一个具体的问题——tan75度等于多少。

首先，我们需要了解一些基础知识。正切函数的定义是：在一个直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比值即为其正切值。换句话说，如果我们将角度θ代入tan函数，那么结果就是tanθ = 对边 / 邻边。

接下来，我们来看看如何计算tan75度的具体数值。由于75度不是一个常见的特殊角（如30度、45度或60度），因此我们不能直接从记忆中得出答案。不过，我们可以利用三角恒等式和已知的特殊角来推导出结果。

我们知道，75度可以表示为两个特殊角的和，即75° = 45° + 30°。根据加法公式：

\[

\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}

\]

将a=45°，b=30°代入，我们得到：

\[

\tan(75^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}

\]

根据特殊角的值，tan45°=1，tan30°=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，所以：

\[

\tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}

\]

进一步化简后，我们得到：

\[

\tan(75^\circ) = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}

\]

为了使分母有理化，我们将分子和分母同时乘以\(3+\sqrt{3}\)，得到：

\[

\tan(75^\circ) = \frac{(3+\sqrt{3})^2}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}

\]

计算后，最终的结果为：

\[

\tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}

\]

因此，tan75度的值为\(2 + \sqrt{3}\)。

通过这个过程，我们不仅解决了问题，还复习了三角函数的基本性质和计算技巧。希望这篇文章能帮助你更好地理解正切函数及其应用！