【和倍问题的基本公式】在小学数学中，“和倍问题”是一个常见的应用题类型，主要涉及两个或多个数之间的关系，已知它们的和与倍数关系，要求求出各个数的具体数值。这类问题通常可以通过设定变量、列方程或使用基本公式来解决。
为了帮助学生更好地理解和掌握这类问题，下面对“和倍问题”的基本公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
- 和：几个数的总和。
- 倍数：一个数是另一个数的几倍。
- 和倍问题：已知两数之和以及它们的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。
二、基本公式
设较小的数为 $ x $，较大的数为 $ kx $（即较大的数是较小数的 $ k $ 倍），则：
| 已知条件 | 公式 | 说明 |
| 和为 $ S $，大数是小数的 $ k $ 倍 | $ x + kx = S $ 或 $ x(1 + k) = S $ | 解得 $ x = \frac{S}{1 + k} $，大数为 $ kx $ |
| 和为 $ S $，大数比小数多 $ m $ 倍 | $ x + (x + m \cdot x) = S $ 或 $ x(1 + 1 + m) = S $ | 即 $ x(2 + m) = S $，解得 $ x = \frac{S}{2 + m} $，大数为 $ x + m \cdot x $ |
| 三数和为 $ S $，其中两数为另一数的 $ a $ 倍和 $ b $ 倍 | $ x + ax + bx = S $ 或 $ x(1 + a + b) = S $ | 解得 $ x = \frac{S}{1 + a + b} $ |
三、举例说明
例1：
甲乙两数的和是30，甲是乙的2倍，求甲乙各是多少？
- 设乙为 $ x $，甲为 $ 2x $
- $ x + 2x = 30 $ → $ 3x = 30 $ → $ x = 10 $
- 甲 = 20，乙 = 10
例2：
甲乙两数的和是45，甲比乙多2倍，求甲乙各是多少？
- 设乙为 $ x $，甲为 $ x + 2x = 3x $
- $ x + 3x = 45 $ → $ 4x = 45 $ → $ x = 11.25 $
- 乙 = 11.25，甲 = 33.75
四、总结
和倍问题的关键在于正确识别题目中的“和”与“倍数关系”，并根据这些信息建立正确的等量关系。通过合理的变量设定和公式推导，可以快速找到答案。
以下是各类常见情况的公式汇总：
| 情况 | 公式 | 说明 |
| 两数和为 $ S $，大数是小数的 $ k $ 倍 | $ x = \frac{S}{1 + k} $ | 小数为 $ x $，大数为 $ kx $ |
| 两数和为 $ S $，大数比小数多 $ m $ 倍 | $ x = \frac{S}{2 + m} $ | 小数为 $ x $，大数为 $ (1 + m)x $ |
| 三数和为 $ S $，两数分别是第三数的 $ a $ 倍和 $ b $ 倍 | $ x = \frac{S}{1 + a + b} $ | 第三数为 $ x $，其他两数分别为 $ ax $ 和 $ bx $ |
通过掌握这些基本公式和解题思路，学生可以更高效地解决和倍问题，提升数学思维能力和解题技巧。
